domingo, 16 de septiembre de 2012



Posted: 11 Sep 2012 03:28 AM PDT
Referencia: Nature.News.com .
Autor: Philip Ball, 10 septiembre 2012

El mundo de las matemáticas, por lo general tranquilo, está hecho un hervidero de declaraciones, debido a haya sido resuelto uno de los problemas más importantes de la teoría de números.

El matemático Shinichi Mochizuki, de la Universidad de Kioto, en Japón, ha publicado una prueba de la conjetura abc en 500 páginas, donde propone una relación entre los números enteros, un problema 'diofántico'.

La conjetura abc, propuesta independientemente por David Masser y Joseph Oesterle en 1985, podría no ser tan conocido para el resto del mundo como el último teorema de Fermat, pero en algunos aspectos es más significativo. "La conjetura abc, si la prueba resulta cierta, resuelve de un plumazo muchos famosos problemas diofánticos, incluido el último teorema de Fermat", afirma Dorian Goldfeld, matemático de la Universidad de Columbia, en Nueva York. "Si la prueba de Mochizuki es correcta, será uno de los logros más sorprendentes de las matemáticas del siglo XXI."

Al igual que el teorema de Fermat, la conjetura abc se refiere a las ecuaciones de la forma a+b=c. Esto implica un concepto de un número libre de cuadrados: uno que no puede ser dividido por el cuadrado de ningún número. Quince y 17 son números libre de cuadrados, pero no así 16 y 18, puesto que son divisibles por 42 y 32, respectivamente.

La parte de un número "libre de cuadrado" n, sqp (n), es el más grande que se puede formar multiplicando los factores de n que son números primos. Por ejemplo, sqp(18)=2x3=6.

Si ya tenemos eso, entonces debemos conseguir la conjetura abc. Se trata de la propiedad del producto de los tres enteros axbxc, o abc, o más concretamente, de la parte libre de cuadrado de este producto, lo cual involucra a sus distintos factores primos. Se establece que para los números enteros a+b=c, la relación de sqp(abc)r/c siempre tiene un cierto valor mínimo mayor que cero, para cualquier valor de r mayor que 1. Por ejemplo, si a=3 and b=125, de modo que c=128, entonces sqp(abc)=30 y sqp(abc)2/c = 900/128. En este caso, en el que r=2, sqp(abc)r/c es casi siempre mayor que 1, y siempre mayor que cero.

Una profunda conexión

Resulta que esta conjetura resume muchos otros problemas diofánticos, incluyendo el último teorema de Fermat (que establece que an+bn=cn no tiene soluciones enteras, si n es mayor que 2). Como muchos otros problemas diofánticos, todo gira en torno a las relaciones entre los números primos. Según Brian Conrad, de la Universidad de Stanford, en California, "eso codifica una profunda conexión entre los factores primos de a, b y a+b".

Muchos matemáticos han dedicado un gran esfuerzo para probar esta conjetura. En 2007, el matemático francés Lucien Szpiro, cuyo trabajo en 1978 dio lugar a la conjetura abc fue primero en proclamar que tenía una prueba de ello, pero pronto se encontró su deficiencia.

Igual que Szpiro, así como el matemático británico Andrew Wiles, quien demostró el último teorema de Fermat en 1994, Mochizuki ha atacado el problema usando la teoría de curvas elípticas, las suaves curvas generadas por las relaciones algebraicas de la serie y2=x3+ax+b.

Ahi es donde la relación de Mochizuki funciona, justo donde se paran los esfuerzos anteriores. Ha sabido desarrollar técnicas que muy pocos matemáticos entienden en su totalidad, y que invocan a una nueva matemática de "objetos", entidades abstractas análogas a los ejemplos más conocidos, como los objetos geométricos, conjuntos, permutaciones, topologías y matrices. "En este momento, probablemente es el único que lo sabe totalmente", apunta Goldfeld.

Conrad dice que este trabajo "utiliza una gran cantidad de conocimientos que se va llevar mucho tiempo para que pueda ser digerido por la comunidad". La prueba se extiende a los largo de cuatro largos artículos [1], y cada uno de las cuales se apoya a su vez en previos y profusos documentos. "Puede requerir una gran inversión de tiempo llegar a entender una prueba tan larga y sofisticada, así que la voluntad de los otros para hacerlo se apoya no sólo en la importancia del anuncio, sino también en la trayectoria de los autores", explica Conrad.

Seguir la pista de Mochizuki, sin duda, hace que el esfuerzo valga la pena. "Ha sido capaz de demostrar teoremas muy profundos en el pasado, y es muy concienzudo en su escritura, de manera que ofrece una gran confianza", señala Conrad. Y añade que uno puede sólo sentirse compensado simplemente verificando sus aseveración. "El aspecto interesante no es sólo que la conjetura puede estar resuelta, sino que las técnicas y los conocimientos que ha debido introducir deben ser herramientas muy poderosas para la solución de problemas en el futuro en la teoría de números".

- Nature doi: 10.1038/nature.2012.11378


- Imagen 1) Shinichi Mochizuki, imagen 2) David Masser (arriba) y Joseph Oesterle, proponentes de la conjetura abc .
Referencias:
-1  Mochizuki, S. Inter-universal teichmuller theory I: construction of Hodge Theatres (2012).
-2  Mochizuki, S. Inter-universal teichmüller theory II: Hodge–Arajekekiv-theoretic evalulation (2012).
-3  Mochizuki, S. Interuniversal teichmüller theory III: canonical splittings of the log-theta-lattice (2012).
-4  Mochizuki, S. Interuniversal teichmüller theory IV: log-volume computations and set-theoretic foundations (2012).
.