jueves, 26 de enero de 2012

INFORMACION, INCERTIDUMBRE , CONOCIMIENTO

Tema 1.
Para explicar de excelente forma lo que significa INFORMACION  y su relacion con la INCERTIDUMBRE ,que tratara en 1948 Shannon, nos narra Cristian Aguirre del Pino, en su Blog  lo siguiente que tomamos textualmente ….

[ Recientemente en un documental científico observé realizar a un físico un experimento casero muy interesante. El investigador escribió una nota y luego la introdujo en una licuadora junto a agua y trozos de fruta. Finalmente accionó la licuadora y la nota junto a la fruta quedo licuada en un sabroso zumo con su pisca de información significativa. Luego afirmó, para asombro de la audiencia, que pese al licuado la información sigue allí.
¿Habría dicho lo mismo este físico si en lugar de una nota hubiese depositado en la licuadora un billete de 500 euros de su billetera? ¿Y lo habría dicho con el mismo desparpajo y alegría?
Seguro que no. Si entendemos adecuadamente el concepto de “perder” significa que no es posible recuperar, y un billete de 500 euros bien licuado no se puede recuperar desde luego. Pero entonces ¿De qué tipo de información está hablando este físico? ¿Se puede perder la información o no se puede?
Para responder a esta pregunta hay que precisar que en el experimento de la licuadora el físico no discrimina que la información de la nota, la información significativa, es de un tipo muy diferente de la información física. En este sentido es preciso aclarar primero que es la información y que tipos de información existen antes de entrar a discutir sobre si la información puede o no perderse, o en tal caso si hay tipos de información que se pueden perder y otros que no se pierden.
Claude E Shannon en su Teoría Matemática de la Información de 1948 propuso que la información puede concebirse como una medida de la incertidumbre de un mensaje. Esto significa que si una parte del mensaje no tiene incertidumbre por ser previsible entonces no aporta información. En caso contrario si dicho componente del mensaje es imprevisible, su grado de sorpresa involucrará mayor información.

En la figura previa tenemos 3 paneles con una matriz de de 12 x 18 casilleros de ancho y alto respectivamente. Al analizar estos 3 tableros veremos que todos tienen la misma capacidad de información, es decir, cada uno tiene 216 casilleros que pueden tener 2 valores: blanco o negro, en cuyo caso podemos decir que tienen una capacidad digital para almacenar 216 bits de información física. Sin embargo, si lo que buscamos es información significativa podemos decir que el primer panel no nos informa nada, el segundo tampoco en cuanto a que desconocemos si dicha configuración de puntos puede tener algún significado, y el tercero finalmente si nos dice algo, en concreto el símbolo que significa el número 5.
Con este ejemplo podemos diferenciar entre información física e información significativa al admitir que los tres paneles tienen la misma información física, pero no la misma información significativa con respecto al conocimiento del convenio de comunicación de un intérprete particular. Perfectamente otro intérprete puede no reconocer el símbolo del número 5 y en cambio reconocer significado en el panel 2. Del mismo modo un occidental que desconoce los ideogramas chinos no encontrará ningún significado en un libro lleno de ellos. Para él dicho libro no le informa nada. Sin embargo para un ciudadano chino el mismo si le proporcionará abundante información. Como podemos concluir en el presente caso no hay pues discrepancia sobre la información física, más si lo hay de la información significativa dado que los convenios de comunicación (los símbolos implicados en la comunicación) no son conocidos del mismo modo por los distintos interpretes.
¿Cuál de estos dos tipos de información tenían en mente Shannon?
Definitivamente, como su propia definición lo induce, se trata de información significativa.
Para entender mejor esto recordemos los programas de televisión donde una frase cuyos caracteres permaneces ocultos a los concursantes debe ser hallada luego de un proceso progresivo de revelación de las letras que contiene. Primero un concursante indica una letra al azar que puede ser vocal o consonante y si la frase lo contiene se revelan las letras de la frase que corresponden a dicha letra o vocal. Luego el siguiente concursante hace lo mismo revelando otro carácter de la frase en un proceso que va revelando cada vez mas letras. Llegado un punto uno de los concursantes, aunque aún faltan letras para completar la frase, halla las necesarias, o dicho de otra manera, halla la necesaria información de Shannon para que el resto de letras aún ocultas ya no le proporcione incertidumbre y con ello nueva información. Y así, considerando las letras ya reveladas, poder decir que es lo que dice la frase y ganar el concurso.
Ahora bien, supongamos que el concurso se realiza en el idioma español y se invita al concurso a alguien que desconoce por completo dicho idioma. Sin duda perderá el concurso porque para él cada letra nueva revelada recibirá alta información de Shannon siendo la frase completamente revelada la información de Shannon para él. Sin embargo, para el concursante que habla español la información de Shannon será menor dado que él conoce las palabras y sintaxis del idioma español y por lo tanto podrá saber lo que dice la frase antes de que se revelen todas las letras.
¿Donde está entonces la diferencia sustancial entre la información física y la información de Shannon?
En el conocimiento.
Podemos decir entonces que la información física es conforme la expresión siguiente:
INFORMACIÓN FÍSICA = INFORMACIÓN DE SHANNON + CONOCIMIENTO
Lo que nos revela esta expresión y que está en consonancia con la misma definición de información de Shannon es que dicha información tendrá relación inversa con el conocimiento de la información relativa a los convenios de comunicación establecidos entre el emisor y el receptor, esto es, de la información que especifica el significado de los símbolos convenidos para la comunicación.
Si la información implicada en el conocimiento es bastante grande la información de Shannon será menor. Si el conocimiento es mínimo la información de Shannon será lo más cercano a la cantidad de información física. Si no hay conocimiento en absoluto y, por lo tanto, hay incertidumbre total, entonces la información de Shannon será igual a la información física.
Para entender mejor como actúa el conocimiento como tipo de información consideremos lo siguiente:
Para poder colocar un carácter alfanumérico en la pantalla en un computador tan solo nos basta con pulsar la tecla que lo especifica y ésta aparecerá en la pantalla. A nadie se le ocurriría, en cambio, indicarle a la computadora todos los pasos de cómputo a seguir para colocar el carácter “S” en la pantalla como será aproximadamente del siguiente modo:
1.    Activar la interrupción 21 del sistema operativo.
2.    Recoger el código de identificación de la tecla y copiarlo al acumulador.
3.    Verificar status de activación de mayúsculas.
4.    Con la información del código y el status de la tecla de mayúsculas extraer código de la matriz de caracteres de la ROM BIOS.
5.    Direccionar la subrutina que contiene la matriz de pixels necesarios para dibujar la letra en la pantalla en la zona del cursor.
Este engorroso procedimiento, que ya está anticuado al ser de una época en la cual solo se usaba el modo texto y que sin duda le faltan muchísimos pasos además de tener inexactitudes que expertos en la materia podrán criticar, es lo que realizaba un computador de entonces. Actualmente ya no se usa la ROM BIOS para los modos gráficos (aunque aún para el modo texto DOS), sino ciertos programas de fuentes gráficas. Pero aún así este ejemplo, a efectos de ilustrar este caso, nos revela con claridad que lo que para nosotros constituye tan solo una sencilla pulsación de la tecla con el símbolo “S”, para la máquina involucra una enorme cantidad de información de procesos y datos. Y esta información es precisamente información de conocimiento insertado por los programadores del sistema operativo y en los demás programas de mayor nivel con objeto de realizar este proceso con el mínimo esfuerzo por parte del usuario. Esta es pues la “magia” de la tecnología; hacer lo que sería engorroso o sumamente complicado de una manera sencilla y con el mínimo conocimiento necesario para un usuario, transfiriendo casi todo el conocimiento al dispositivo que lo realiza.
En los primeros tiempos de la informática los programas eran sumamente complejos dado que los programadores tenían que programar con lenguajes de bajo nivel. Bajo nivel significa que el conocimiento necesario para programar era muy alto y prácticamente todos los procesos debían ser algorítmicamente diseñados. Con el tiempo, para facilitar este trabajo a los programadores, otros programadores crearon lenguajes de programación con grados de abstracción más altos de modo que lo que antes demandaba un algoritmo ahora se “abstraía” en un comando de un lenguaje de nivel superior. Así, por ejemplo, un lenguaje de alto nivel como el C recogía abstracciones, es decir, comandos, de un lenguaje de menor nivel como el ensamblador, y a su vez, el ensamblador recogía comandos que eran sendos algoritmos de un lenguaje de nivel inferior aún que era el lenguaje máquina del microprocesador (y aún queda el nivel de la circuitería lógica del microprocesador). De este modo conforme se crearon mas niveles de abstracción, y con ello lenguajes de más alto nivel, el conocimiento requerido para el proceso migró del programador al lenguaje de programación de mayor nivel.
Después de lo visto hasta aquí podemos establecer el papel del conocimiento como una información complementaria a la información de Shannon con respecto a la mera información física.
Entonces ¿Qué sucede cuando el conocimiento es cero y sólo tenemos que la información física es igual a la información de Shannon? ¿Esto significa que en este caso la información física carece de significado?
Definitivamente No. Lo que sucede es que desaparece todo significado para toda entidad o interprete con conciencia capaz de crear o reconocer convenios de comunicación arbitrarios. No obstante, aún queda un significado latente y veremos en seguida que la información siempre tiene significado, sino para alguien si para algo.
En el próximos post trataremos una definición conceptual de información que engloba a todos sus tipos, se profundizará en lo que es la información física, se tratará su relación con la termodinámica y finalmente el origen del conocimiento y la información física. SIC.
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TEMA 2  ….De seguido  Aguirre nos introduce en el concepto de lo que es la Información Fisica y escribe 



[ Para entender mejor lo que es la información es necesario conocer una definición cualitativa y no meramente cuantitativa de lo que es en realidad. En este sentido la cuantificación de la información de Shannon nos resulta sin duda útil, pero necesitamos una definición formal de información. Para este propósito voy a usar una definición de información que puede ser sin duda más general y englobar en su seno todos los tipos de información. Dicha definición es la siguiente:
La información es una configuración inmaterial expresada en una estructura material que es susceptible de ser interpretada para producir una respuesta. (1)
Esta es una definición general que engloba varios tipos de información incluidas la información física y la significativa. Por ahora nos detendremos en un tipo de información plenamente físico. Donde la fuente, el mensaje y el destinatario son agentes físicos. Por lo tanto todavía no trataremos la información significativa relativa a entidades inteligentes sin importar cuanto lo sean. Hay quienes cuestionan que la información física sea verdadera información lo cual sin duda es algo muy relativo a la definición de información que se considere. Sin embargo, la definición previamente señalada se puede aplicar a ambos tipos sin problemas.
Veamos un ejemplo de información física. Un simple fotón transmite información y ello se confirma en la respuesta que produce en el cambio orbital de un electrón del átomo al cual alcanza. Allí hubo una respuesta como resultado de una interpretación basada en las leyes de la física. De este modo casi cualquier elemento físico desde los objetos macroscópicos hasta las partículas subatómicas pueden afectar con su sola presencia a otros elementos, resultando así en un vehículo de información y, más propiamente, en expresión de información.
Si el universo fuese tan solo una nube de plasma uniforme, la información en el universo sería mínima. No es el caso de nuestro actual universo. El mismo está lleno de innumerables estructuras simples y sumamente complejas. Por lo tanto, si quisiéramos reproducir el universo de plasma uniforme con un sistema de cómputo no nos demandaría mucha información, pero con un universo complejo como el que conocemos nos demandaría una extraordinaria cantidad de información para ser descrito.
La respuesta y la interpretación, por lo tanto, pueden producirse indistintamente para transmisores y receptores que sean tanto conscientes como inconscientes. Si para los primeros la información se basa en convenios de comunicación inteligentemente creados, para los segundos se basa en convenios de comunicación ya creados que llamamos leyes de la física.
De lo que hemos visto, elementos como los fotones (la luz) o las perturbaciones de compresión del aire (el sonido) son útiles para interpretar a distancia cómo es el entorno y que sucede en él. Pero incluso los objetos materiales no móviles también son conductores de información y también produce una respuesta. Con mis ojos yo puedo ver que si sigo caminando voy a encontrar una pared con la cual chocar. Pero si soy ciego la luz no me dará la información de que el muro está allí hasta que yo choque con él.
De acuerdo a lo que hemos visto para los físicos la información está íntimamente ligada a la energía y por ende también a la materia. Recordemos la famosa equivalencia de Einstein E=MC^2 que especificaba que la energía presente en la materia es igual al doble de su energía cinética a la máxima velocidad a la cual un objeto material puede viajar, es decir, a la velocidad de la luz. De este modo donde hay materia hay información física. La siguiente historia reciente nos puede dar una mayor comprensión aún:
Los servicios de inteligencia de los EEUU usaron una muy ingeniosa tecnología para “oir”, desde una gran distancia, las conversaciones que se realizaban en el interior de una habitación de la casa donde finalmente se halló a Bin Laden en Paquistán. No era posible instalar micrófonos y los supuestos sistemas de escucha de sonido no sirven en absoluto a grandes distancias de su fuente. De este modo debieron agudizar el ingenio para conseguir recoger de algún modo la información de audio de dicha habitación sin ningún dispositivo colocado en él. Como se vio en la definición, la información debe producir una respuesta en otros elementos físicos. Entonces si conseguimos detectar los patrones de dicha respuesta podremos hallar los patrones de la fuente.
Sabemos que la voz humana consiste en sonido el cual es una información expresada en una estructura de compresiones de aire que van a dispersarse por el entorno afectando a otros objetos materiales, es decir, objetos qué, si bien no interpretan el mensaje intelectivo humano, si interpretan el mensaje informativo físico. Uno de los objetos que es capaz de producir una respuesta ante la información acústica es el vidrio de una ventana.
Dicho vidrio vibra de acuerdo al sonido que le llega y su vibración será conforme el sonido recibido. Entonces lo que hay que hacer es recoger la información de las vibraciones del vidrio de la ventana de la habitación donde se encontraría posiblemente Bin Laden y convertir esta información vibratoria en sonido audible de nuevo a fin de escuchar las conversaciones realizadas en la misma y así poder tener mejor certeza si en verdad allí se encontraba el terrorista más buscado por EEUU.
Para poder recoger las vibraciones del vidrio usaron un rayo laser (posiblemente en longitud de onda infrarroja para no ser detectado) y un receptor adyacente al emisor que recogiera el reflejo del laser. De acuerdo a como vibre el vidrio, el rayo reflejado producirá proporcionales desviaciones del punto de reposo y así será posible registrar las vibraciones del vidrio de esta ventana a gran distancia. Luego con un software especial se haría la conversión de dicha información en su equivalente sonoro y así podrían escuchar las conversaciones de dicha habitación.
Como vemos en este caso, la información de audio no se perdió y dejo huellas en la respuesta interpretada por otro agente físico. Ahora bien ¿hasta adonde y hasta cuándo puede la información ser recuperada? o en otro caso ¿puede definitivamente perderse? SIC.
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TEMA 3. Por ultimo  Aguirre nos lleva al tema de la Paradoja de la Información que surgió con gran fuerza con los postulados del cosmólogo Hawking cuando afirma que de un agujero negro que ha tragado materia,por tanto información, no sale nada, absolutamente nada……un tema que ha sido objeto de gran controversia….porque va en contra de los postulados de la conservación de la materia y por ende de la información….Leamos a Aguirre….

 [ En 1974 el físico británico Stephen Hawking sorprendió a la comunidad científica con un anuncio inesperado e inquietante que cuestionaba la inmutabilidad de la unitareidad de la física cuántica. Él, como experto en agujeros negros, anunció que la información de la materia que ingresa al interior del horizonte de sucesos de un agujero negro se pierde. De este modo los agujeros negros serían unos sumideros no solo de materia, sino también de la información que ella porta haciéndolos desaparecer del universo.
Un agujero negro se forma cuando una estrella masiva colapsa sobre sí misma y atrae toda su masa hacia un punto supermasivo llamado singularidad. Ahora bien, para todo cuerpo planetario o estelar un cuerpo cualquiera puede escapar de su campo gravitatorio y perderse en el espacio si supera cierta velocidad que se denomina velocidad de escape. De este modo, desde la escaza gravedad de un pequeño asteroide podría bastar un lanzamiento vigoroso de un astronauta para conseguir que una piedra nunca retorne al asteroide y se pierda en el espacio. Para la tierra tendría que lanzarla a 11.2 Km/seg. Desde la superficie del sol sería mucho mayor y desde cierta distancia de un agujero negro esta velocidad sería tan alta que se igualaría a la velocidad de la luz. Como consecuencia de esto ni siquiera la luz, en esta superficie límite alrededor del agujero negro y por debajo de ella, podrá escapar de la misma y así toda materia que ingrese a este límite ya no podrá recuperarse. Esta superficie límite es lo que se conoce como horizonte de sucesos.
Hawking descubrió además que los agujeros negros emiten una radiación (la llamada radiación Hawking) que implica qué, por muy masivo que sea el mismo, este terminará, después de un fabuloso lapso de tiempo, evaporándose y, por lo tanto, desapareciendo. Pero, como desmostraría Hawking, dicha evaporación no revela la información que quedó atrapada dentro de su horizonte de sucesos, es decir, la información que ingresa al límite que rodea al agujero negro donde la luz ya no puede escapar y el tiempo se detiene. Una vez atravesado este límite dicha información ya no puede recuperarse.
Esto último es lo que más inquietó a algunos físicos para los cuales cualquier perturbación de la una información se verá reflejada en las respuestas o reacciones que producirá en los agentes que alteran o generan de tal modo que la información nunca debería perderse. Esto es lo que pretendía decir el físico de la licuadora.
La doctora en astronomía argentina Carmen A. Nuñez es su artículo de CIENCIA HOY titulado “La paradoja de la pérdida de información en los agujeros negros” lo explica del siguiente modo:
“Supongamos que codificamos la información que hay en una enciclopedia en bits, así como una computadora almacena la información, en secuencias de ceros y unos. Si escaneamos la enciclopedia y guardamos la información en la computadora, al día siguiente podremos leerla sin inconvenientes en principio. Pero en mecánica cuántica la evolución temporal de un sistema lo hace cada vez más complicado. Los distintos bits de información están correlacionados y evolucionan con el tiempo de manera que no se puede conocer el estado de cada uno de ellos sin tener un conocimiento completo de todos. De manera que si queremos leer una enciclopedia cuántica al día siguiente de haberla codificado necesitamos una enorme cantidad de información. Esto no significa que no podamos leerla, que la información se destruye. Solo que se hace más y más difícil reconstruirla a medida que pasa el tiempo. Pero la información no se destruye. Esta es una premisa básica de la mecánica cuántica que se verifica experimentalmente en todos los procesos conocidos hasta el momento.
Aunque los procesos físicos pueden transformar la información contenida en un sistema y hacerla inaccesible en la práctica, en principio la información siempre se debe poder recuperar. Una analogía de esta afirmación sería: Si quemamos la Enciclopedia Británica o la Enciclopedia de la Real Academia Española, las llamas y las cenizas serán muy parecidas en los dos casos, pero en realidad hay diferencias sutiles: con suficiente inteligencia y tecnología avanzada debería ser posible descifrar el contenido de la enciclopedia observando las llamas y las cenizas”. (2)
Definitivamente lo que pretenden decir la astrónoma Carmen A. Nuñez y el físico de la licuadora podría ser básicamente cierto si consideramos tan solo información física. Para el físico británico Leonard Susskind la información no se pierde porque queda almacenada en el horizonte de sucesos y para el físico argentino Juan Martin Maldacena, mediante un razonamiento similar basado en la teoría de cuerdas, tampoco. Para el propio Stephen Hawking, después de 30 años de insistir en que dicha información si se pierde, finalmente afirmó en el año 2004 que la información física no se pierde, pero a diferencia de Susskind y Maldacena, para Hawking la solución a esta paradoja de la información estriba en que el contexto del problema debe ser ampliado al multiverso, haciendo de este modo que el problema local se vea aliviado si se juzga que dicha información, que puede parecer que se pierde localmente, no lo hace en realidad en un contexto de múltiples universos o universos nacientes de agujeros negros, los llamados “agujeros blancos” .
No todos los físicos están de acuerdo con estas soluciones. El físico británico Roger Penrose considera que Hawking tuvo razón durante los 30 años que sostuvo su paradoja. Él resume tres alternativas sobre la misma:
•    PÉRDIDA. La información se pierde irremediablemente cuando el agujero se evapora.
•    ALMACENAMIENTO. La información se almacena en la pepita final. Esta pepita sería un posible remanente, según lo que afirman algunos físicos, de lo que se conoce como Explosión de Hawking. Esta se produce en las etapas finales de la evaporación de un agujero negro cuando su temperatura se eleva conforme disminuye su tamaño con mayor velocidad cada vez. Llegado un punto se producirá una inestabilidad desbocada que terminará en una explosión donde la masa-energía del agujero se convertiría por completo y de forma instantánea en radiación. Para estos físicos, que repudian la idea de que la información pueda perderse, ésta pepita almacenaría la información remanente. Sobre esto Penrose afirma: “El problema es que resulta difícil ver cómo toda la información concerniente a los detalles de la materia que colapsó en el agujero – que podría haber sido en su origen un agujero negro de tamaño estelar o incluso galáctico antes de que la radiación térmica (y por consiguiente, prácticamente “libre de información”) se llevase casi toda la masa del agujero – podría estar almacenada en dicho resto”.
•    RETORNO. Toda la información se recupera en la explosión final.
Sobre estas tres posibilidades Penrose se pronuncia del siguiente modo:
“El lector podría preguntarse por qué la gente siente la necesidad de llegar hasta el ALMACENAMIENTO o el RETORNO, cuando parece que la alternativa más obvia es la PÉRDIDA. La razón es que la PÉRDIDA parece implicar una violación de la unitariedad. Si la filosofía de la mecánica cuántica de uno exige que la unitariedad sea inmutable, entonces uno está en dificultades con la PÉRDIDA. De ahí la popularidad entre muchos (y aparentemente la mayoría) de los físicos de partículas de las alternativas ALMACENAMIENTO o RETORNO, pese a la apariencia retorcida de las mismas.
Mi propia opinión es que la PÉRDIDA de la información es ciertamente la más probable. Un examen de la Fig. 30.14 transmite la imagen clara de que el material físico que colapsa cae simplemente a través del horizonte, llevando con él toda su “información”, para ser finalmente destruido en la singularidad. Nada particular, de importancia física local, debería suceder en el horizonte. La materia ni siquiera “sabe” cuándo cruza el horizonte. Deberíamos tener en cuenta que podríamos estar considerando un agujero negro inicialmente muy grande, quizá como los agujeros que se cree habitan en los centros galácticos, que podría ser de un millón o más de masas solares. Cuando se cruza el horizonte no sucede nada en particular. La curvatura espacio temporal y la densidad de materia no es tan grande: tan solo del tipo que encontramos en nuestro propio sistema solar. Ni siquiera la localización del horizonte está determinada por consideraciones locales, puesto que la localización depende de cuánto material caiga posteriormente, entonces ¡el horizonte se habrá cruzado en realidad antes!
Creo que es inconcebible que, en el instante inmediatamente anterior a que se cruce el horizonte, se emita alguna señal al mundo externo que transmita fuera los detalles completos de toda la información contenida en el material que colapsa. De hecho, una simple señal no sería suficiente, puesto que el propio material es realmente, en cierto sentido, la “información” que a uno le interesa. Una vez que ha caído a través del horizonte, el material queda atrapado y es inevitablemente destruido en la propia singularidad”.
“La situación con el ALMACENAMIENTO no es mucho mejor, si es que la hay. Incluso si la pepita se forma, no sirve realmente para nada, puesto que la “información” está encerrada para siempre, y me parece que es lo mismo que perderse. Si el único propósito de la pepita es “salvar la unitareidad”, entonces habría que formular una QFT (Teoría cuántica de campos) consistente de pepitas, y hay varias dificultades para hacerlo. Tal como lo veo el razonamiento de Hawking nos ofrece un potente argumento por el que, de acuerdo con la PÉRDIDA, debe esperarse que la unitareidad sea simplemente violada en ciertas situaciones cuando la relatividad general entra en la imagen junto con los procesos mecanocuánticos”.(3)
Probablemente la violación de la unitareidad no sea el único escrúpulo con el cual se repudia la alegre perdida de información en un agujero negro. Quizás también tenga relación con otra paradoja o misterio que tiene relación con el origen de la información en el cosmos. Pero antes de tratar dicho tema tendremos que realizar un recorrido de carácter termodinámico sobre la información para tratar con este misterio y nuevamente volver al tema de los agujeros negros. Pero esto lo haremos en los próximos post. SIC


Referencias:
1. Cristian Aguirre del Pino. Elementos de Estructuras Funcionales. OIACDI 2009. Capitulo 8
2. Carmen A. Nuñez. La paradoja de la pérdida de información en los agujeros negros. CIENCIA HOY. Volumen 16 N º 91 ( Febrero – Marzo , 2006 )
3. Roger Penrose. El camino a la realidad. DEBATE 2004. Capitulo 30

Fuente original  http://www.darwinodi.com/
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LECTURA COMPLEMENTARIA….Vease Universos Los Rostros de Dios en http://universos-losrostrosdedios.blogspot.com/